Формулировка учащимися теорем с использованием УМК «Живая геометрия»

Учителям хорошо известен страх многих учащихся перед словом «теорема». Преодолеть его помогает целенаправленная работа, цель которой – осознание учащимися формулировки теоремы, что должно предшествовать ее доказательству. При этом весьма важно, чтобы ученики приняли посильное участие в составлении формулировки изучаемой теоремы. Факты, открытые учащимися самостоятельно, осознаются и усваиваются ими лучше, чем преподнесенные учителем в готовом виде, ведь недаром еще в древности Конфуций сказал: «Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню. Дай мне действовать самому, и я научусь». Меняется и отношение учащихся к геометрическому объекту, созданному своими трудами, по отношению к тому, как если бы его просто предоставили в готовом виде или определили. Ведь он помнит весь процесс творения – с чего начинался объект, какие трудности пришлось преодолеть, прежде чем прийти к желаемому результату.

Широкие возможности в этом направлении предоставили новые компьютерные технологии, которые привели к перевороту в возможностях геометрических экспериментов. С помощью эксперимента можно установить множество фактов, которые станут открытиями для учащихся. Современные компьютерные программы позволяют учащимся обнаруживать закономерности в различных геометрических явлениях, либо проверять выполнение ранее подмеченных закономерностей. Примером одной из таких программ является учебно-методический комплекс (УМК) «Живая геометрия».

Одно из главных достоинств УМК  «Живая геометрия» – возможность непрерывно менять объекты – осуществлять деформацию фигуры или отдельных её частей, при этом первоначальное изображение может принимать самые различные формы. Получается, что ученик работает не с каким-то единственным объектом, например, треугольником или четырехугольником, а – с целым семейством. Эта особенность позволяет учащимся принимать участие в выдвижении гипотез и осуществлять их экспериментальную проверку.  Один из примеров – теорема о площади треугольника.

Для открытия данной теоремы организуется работа учащихся с файлом treug.gsp(рис 1), созданным учителем в УМК «Живая геометрия».

Рис. 1

В левом верхнем углу экрана отображаются числовые значения элементов изображённой фигуры – длина стороны треугольника и высота, поведенная к ней, а также имеются их цветовые изображения (для более наглядного представления). Ниже расположена вычисляемая величина – площадь треугольника.

По данным файла учащиеся замечают, от каких величин (элементов треугольника) зависит площадь данного треугольника. Для самостоятельного открытия теоремы о площади треугольника учащимся необходимо ответить на вопросы:

1) какой формулой выражается эта зависимость;

2) зависит ли площадь треугольника от его вида.

Для ответа на эти вопросы с помощью данного файла учащиеся приступают к своеобразному эксперименту – динамизации геометрического объекта, в частности треугольника, используя кнопки, расположенные слева от чертежа.

Для  выявления закономерности в изменении площади треугольника в зависимости от изменения высоты и основания  треугольника предназначены кнопки «изменение 1» и «изменение 2». Нажатие кнопок приводит треугольник в движение (рис. 2). «Изменение 1» – меняется длина высоты треугольника, «изменение 2» – изменяется длина стороны, к которой проведена высота (основание треугольника). В любой момент учащиеся могут остановить движение, кликнув мышью в любом месте экрана, и снова его продолжить, нажав соответствующую кнопку. Одновременно с изменениями на чертеже, происходит изменение числовых значений этих величин, а также площади треугольника.

Рис. 2

Изменяя значение сначала одной величины, а затем другой (нажатие кнопок), учащиеся наблюдают за изменениями значения площади треугольника, фиксируя данные в таблице 1.

Таблица 1

По данным таблицы учащиеся должны определить, как выражается зависимость площади треугольника от его высоты и основания. При этом вероятнее всего им потребуется помощь. В таком случае можно добавить подсказки, которые направят учащихся в нужном направлении. Они реализуются в УМК «Живая геометрия» также с использованием кнопок. Подсказки могут быть сформулированы следующим образом: «Какие арифметические операции можно применить к величинам 1 и 2?», либо «Площадь треугольника может быть получена как результат выполнения двух арифметических операций с величинами 1 и 2…» и т.п.

А что будет в случае прямоугольного или тупоугольного треугольника? Для ответа на этот вопрос предназначена кнопка «Изменение вида треугольника», нажатие которой приводит треугольник в движение (рис. 3), в результате чего получаются различные виды треугольников: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, равносторонний, равнобедренный. При этом данные этой части эксперимента учащиеся также могут заносить в таблицу 1.

Рис.3

По итогам такой работы, учащиеся приходят к выводу, что площадь треугольника  в независимости от его вида определяется двумя величинами – высота треугольника и сторона треугольника, к которой эта высота проведена (основание треугольника). Им остается только сформулировать теорему о площади треугольника: «Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту».

Таким образом, благодаря возможностям УМК «Живая геометрия», можно не просто иллюстрировать уже известные факты планиметрии, но и, включать учащихся в работу по самостоятельному открытию теорем. Такая работа становится не просто увлекательным процессом, но и способствует более глубокому усвоению материала, укрепляет желание к познанию нового

Однако чтобы эта работа была эффективна, и каждый ученик смог принять участие в эксперименте, занятие следует проводить в компьютерном классе с достаточным количеством компьютеров (1-2 ученика за 1 компьютером), предварительно познакомив учащихся с УМК «Живая геометрия» и принципами работы в нем.

УМК "Живая геометрия"