Обмен опытом

См. также:

Уважаемые коллеги. Размещение авторского материала на страницах электронного справочника "Информио" является бесплатным. Для получения бесплатного свидетельства необходимо оформить заявку

Положение о размещении авторского материала

Размещение информации

Формирование у обучающихся умений устанавливать закономерности как компонента универсальных учебных действий

07.02.2014 3319 6946
Олонцева Татьяна Юрьевна
Олонцева Татьяна Юрьевна, преподаватель математики и методики преподавания

Киренский профессионально-педагогический колледж

Пересмотр целевых установок и приоритетов в определении образовательных результатов заставляет включить в состав основных образовательных программ и программу формирования универсальных учебных действий (УУД). Студенты, осваивающие специальность 050146 Преподавание в начальных классах, должны быть готовы к формированию УУД еще обучаясь в колледже. Универсальные учебные действия можно определить как совокупность способов действий обучающегося, которые обеспечивают его способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая и организацию этого процесса. Одним из универсальных учебных действий является умение устанавливать закономерности.

 

Средством формирования указанных умений являются задачи на установление закономерностей. Под закономерностью, в широком смысле этого слова, понимается необходимая, существенная, постоянно повторяющаяся взаимосвязь явлений реального мира, определяющая этапы и формы процесса становления, развития явлений природы, общества и духовной культуры. В более узком смысле закономерность – правило расположения объектов. Основой установления закономерности является аналогия, умение формулировать предложения, фиксирующие результат сравнения, индуктивное обобщение.

 

Задачи на установление закономерностей имеют целью:

1) помочь осознать особенности познавательных источников изуче­ния математики, с которыми они встречаются (решение задач, дока­зательство теорем, вывод формул и т. д.);

2) дать представление о методах познания (таких, как сравнение, аналогия, индуктивное обобщение и др.);

3) сформировать соответствующие определенным познавательным источни­кам и методам познания познавательные умения.

 

Приведем условную классификацию задач на установление закономерностей, встречающихся в начальном курсе математики.

 

По роду объектов, между которыми устанавливаются связи и отношения, различают задачи на установление графических (задачи 1, 2, 3), числовых (задачи 4, 5, 6).

 

По расположению объектов рассматриваются задачи на закономерности в последовательности (задача 1, 2, 4, 5)и в таблице (задачи 3, 6).

Задача 1. Разгадай правило, по которому расположены фигурки в каждом ряду (рис. 1).

Рис. 1

Задача 2.  Какая фигура следующая в ряду (рис.2)?

 

Рис. 2

Задача 3. Какую картинку нужно дорисовать (рис. 3)?

Рис. 3

Задача 4. Догадайся, по какому правилу записан каждый ряд чисел.

а) 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, …

б) 2, 5, 3, 6, 4, 7, 5, 8, 6,…

Задача 5. Продолжить последовательность, сформулировав закономерность словесно, формулой п –го члена или рекуррентно:

а) 6, 9, 18, 21, 42, 45, …, …

б) 7, 9, 13, 21, 37, …, …

Задача 6. По какому правилу заполнена таблица? Заполни пустые клетки.


а)

17

20

25

 

б)

 

41

35

33

18

19

24

 

 

43

37

39

21

22

23

 

 

45

47

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учить замечать закономерности следует как при изучении нового учебного материала, так и при выполнении ряда отдельных упражнений на уроке. Такие задания выступают в качестве способа получения каких - либо правил, свойств, законов, формул. Если на уроке изучения нового материала преподаватель не ограничивается демонстрацией формулы или правила в готовом виде, а включает обучающихся в активный поиск закономерностей, предоставляет им возможность самим сделать открытие, позднее подтвержденное строгим математическим доказательством, то обучение приобретает проблемный характер, который соответствует принципам развития одного из важнейших видов мышления - продуктивного.

 

С точки зрения деятельностного подхода к обучению математике формирование умений устанавливать математические закономерности в процессе решения задач может основываться на модели математической деятельности, представленная в исследовании Т. А. Ивановой, которая включает в себя следующие компоненты  (этапы математической деятельности):

1) накопление фактов с помощью общенаучных эмпирических методов (наблюдения, сравнения, анализа) и частных методов (вычисления, построения, измерения, моделирования);

2) выдвижение гипотез на основе использования гипотетико – дедуктивных методов, таких как анализ, синтез, аналогия, неполная индукция, обобщение, абстрагирование, интуиция, конкретизация, дедукция;

3) проверка истинности гипотез доказательством, учитывая законы логики в доказательстве и используя дедуктивные методы доказательств и опровержений (синтетический, аналитический, от противного, полная индукция, исчерпывающих проб, математическая индукция, приведение контрпримера) и специальные методы;

4) построение теории на основе аксиоматического метода;

5) выход в практику через математическое моделирование.

 

Таким образом, формировать умение устанавливать закономерности в процессе решения задач можно уже на первом году обучения в колледже.

 

Ниже предложено тематическое планирование серии занятий для студентов первого курса, целью которых является формирования умений устанавливать закономерности в процессе решения задач.

 

Тематическое планирование

№ п/п

Тема занятия

Кол-во часов

1

Особенности математической деятельности

1

2

Последовательности и способы их задания

1

3

Метод математической индукции

1

4

Фигурные числа

2

5

Числа Фибоначчи

1

6

Размещение чисел в таблице. Магические квадраты

1

7

Итоговое занятие

1

8

Резерв

2

 

Итого:

10

 

План – конспект занятия по теме «Фигурные числа»

 

Цель – познакомить с понятием фигурные числа (треугольные, квадратные, тетраэдрические, пирамидальные), вывести и доказать формулы n – го фигурного числа, доказать их методом математической индукции, применять теоретические знания при решения задач.


Методический комментарий: на данном занятии рассматриваются графические способы установления числовых закономерностей, связь между графическими и числовыми закономерностями. Разбираются задачи, подводящие к понятиям треугольное,  квадратное, пирамидальное  числа. Особое внимание уделяется первым трем этапам математической деятельности. Выводятся и доказываются формулы треугольного, квадратного и пирамидального чисел. Решаются задачи на применение установленных закономерностей.


Ход занятия.


В начале занятия может быть представлен доклад студентов о жизни и деятельности Пифагора.

Числа пифагорейцы изображали в виде точек (возможно, камешками, расположенными на песке), которые они группировали в геометрическое фигуры. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными:

Линейные числа (в современной терминологии это простые числа), т.е. числа, которые делятся на единицу и на самих себя и следовательно, представимы только в виде последовательности точек, выстроенных в линию.

 

Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (6 - плоское число).

Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей (8 – плоское число).

Треугольные числа (1, 3, 6, 10)

Квадратные числа (1, 4, 9)

Пятиугольные числа (1, 5, 12) и т.д. Именно от фигурных чисел пошло выражение «возвести число в квадрат или куб».

 

1 этап: цель – найти закономерность получения п – го треугольного числа на основе графической закономерности, используя эмпирические методы (наблюдение, сравнение, анализ) и частные методы (вычисления), а также логические рассуждения.Можнопредложить студентамразделиться на группы или на пары, каждая из которых предложит свое решение.

Задание 1: На рисунке 5 изображены четыре фигуры, составленные из одинаковых кружков.

а) Заполните таблицу. Сначала запишите число кружков, из которых состав­лена фигура 4. Затем укажите число кружков, которое понадобится, чтобы составить фигуру 5, если продолжить последовательность данных фигур.

Фигура

Число кружков

1

1

2

3

3

6

4

 

5

 

б) Последовательность этих фигур продолжи до получения фигуры 7. Сколько понадобится кружков, чтобы составить фигуру 7?

в) В этой последовательности фигура 50составлена из 1275 кружков. Опре­де­лите, из скольких кружков будет состоять фигура 51. Не изображая саму фи­гуру 51, объясните или покажите на рисунке, как вы получили свой ответ.

Решение.  а) Число кружков в фигурах представляет собой возрастаю­щую последовательность. Причем разность между соседними членами по­следовательности также возрастает на 1 (т.е. между первым и вторым раз­ность равна 2, между вторым и третьим – 3). Следовательно, между третьим и четвертым членами разность равна 4, между четвертым и пятым – 5. Таким образом:

Фигура

Число кружков

1

1

2

3

3

6

4

10

5

15

б) Разность между пятым и шестым членами равна 6, а между шестым и седьмым – 7.

Некоторые студенты могут подметить, что число кругов в каждой последующей фигуре равно сумме числа кругов в предыдущей и номера последующей фигуры.

 

Фигура

Число кружков

1

1

2

3

3

6

4

10

5

15

6

21

7

28

в) Сформулируем общую закономерность: разница между следующим и предыдущим членом равна величине номера следующего члена. Значит разница между 50 – м и 51 – м членами равна 51. Т. е. 51–я фигура состоит из 1275 + 51 = 1326 кругов.

Возможен и другой вариант рассуждений. Рассмотрим частное между числомкругов и номером соответствующей фигуры, получим следующую последовательность: 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4.


Можем предположить, что если частное 1275и 50 равно 25,5, то частное между числом кругов и номером 51 – фигуры равно 26. Значит число кругов равно 51 ∙ 26 = 1326.

2 этап: цельформулировка гипотезы –вывод формулы п – го треугольного числа на основе неполной индукции.

Задание 2: Выразите п – е треугольное число через п (его номер в последовательности).

Решение. введем обозначение п – го треугольного числа Тп. Рисунок подсказывает, что

первое треугольное число Т1 = 1;

второе треугольное число Т2= 3 = 1+2;

третье треугольное число Т3 =6 =1+2+3;

Гипотеза:п – е треугольное число равно сумме п последовательных натуральных чисел, т.е. Тп = 1+2+3+…+ п.

3 этап: цель – подтверждение гипотезы, строгий вывод формулы п – го треугольного числа и ее доказательство методом математической индукции.

Задание 3: Найдите суммуппоследовательных натуральных чисел.


Решение. Представим в сумме:   S=1+2...+(n-1)+n

члены в обратном порядке:  S=n+(n-1)+...+2+1

Сложим эти два равенства почленно: 

2S=(1+n)+(2+(n-1))+...+((n-1)+2)+(n+1)


В правой части n скобок (в каждой из сумм былоnслагаемых), каждая скобка

равна n+1 , поэтому 2S=n(n+1) .


Следовательно  T=n(n-1)                                           

                                2

Задание 4: Докажите, что 1+2+3+...+n=n(n-1) при всех  n > 1

                                                                  2

Решение. докажем методом математической индукции

Базис индукции. При n+1 утверждение имеет вид 1=1x2

                                                                                 2

и очевидно. Если сумма из одного члена кажется чем то странным, можно

проверить и случай  n=2 : в этом случае  1+2=3=2(2+1)

                                                                                2

Шаг индукции. Выделим в сумме 1+2+3+...+(n-1)+n


последний член: 1+2+3+...+(n-1)+n=(1+2+3+...+(n-1)+n

По предположению индукции правую часть можно переписать как

,

что и требовалось доказать. Задача решена.

4 этап: цель – сформулировать определение треугольного числа и его свойства.

Определение: треугольным называется число, равное половине произведения двух последовательных чисел натурального ряда.

Задание 5: (цель – выяснить свойство треугольных чисел)

По графической модели или с помощью индукции (выписав несколько последовательных треугольных чисел) сформулируйте свойство разности двух последовательных треугольных чисел, запишите его в виде формулы.

Ответ: Разность данного и предыдущего треугольных чисел равна номеру данного числа.

В виде формулы:                                Тп - Тп-1 = п                                

5 этап: цель – применение полученных теоретических знаний для решения задач (По желанию учителя и исходя из возможностей школьников некоторые задачи могут быть решены на следующих занятиях или предложены студентам для самостоятельного решения).


Задачи и упражнения.

№ 1.Круги укладывают в равносторонние треугольники. В пятнадцатом треугольнике 120 кругов. Сколько кругов в шестнадцатом треугольнике? В четырнадцатом?

№ 2.а) Круги уложили в равносторонний треугольник, в котором 25 рядов. Сколько потребовалось кругов?

б) Чему равно треугольное число с номером 35? С номером 50? С номером 1000? 

№ 3. Каким по счету треугольным числом является число 1953?

№ 4. Является ли число  7381 треугольным? Если да, то каким по счету?

№ 5. Несколько кругов уложили на плоскости в равносторонний треугольник – остались лишними 3 круга. А когда построили треугольник, сторона которого содержит на 1 круг больше, то не хватило 4 круга. Сколько было кругов? Указание. Найдите число, отличающееся от соседних треугольных чисел на 3 и на 4 единицы.

 

Список литературы

1. Ананченко, К.О. Обучение индуктивным и дедуктивным умозаключения / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк // Преподавание алгебры в 6-8 классах. – М.: Просвещение, 1980. – 270 с.

2. Далингер, В.А. Самостоятельная работа учащихся – основа развивающего обучения / В.А. Далингер // Математика в школе. 1994.- №6. -С. 17-21.

3. Краснянская, К. А. Сравнительная оценка математической грамотности 15 – летних учащихся в рамках международного исследования / К.А. Краснянская, Л.О. Денищева // Математика в школе. 2005. - №3. - С. 70-77.

4. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников / В.А. Крутецкий. – М., 1968.

5. Саранцев, Г. Гуманитаризация математического образования / Г. Саранцев // Математика. – 2004. – 1-7 февр. (№5)

6. Финкельштейн, В.М. О подготовке к изучению нового понятия, новой теоремы / В.М. Финкельштейн // Математика в школе. - 1996. - №6. - С. 21-23.




Назад к списку


Добавить комментарий
Прежде чем добавлять комментарий, ознакомьтесь с правилами публикации
Имя:*
E-mail:
Должность:
Организация:
Комментарий:*
Введите код, который видите на картинке:*