Обмен опытом

См. также:

Уважаемые коллеги. Размещение авторского материала на страницах электронного справочника "Информио" является бесплатным. Для получения бесплатного свидетельства необходимо оформить заявку

Положение о размещении авторского материала

Размещение информации

Информационный проект по математике "Магические квадраты"

26.01.2012 4605 1 17933
Кирьянова Олеся Павловна, учитель математики

МОУ СОШ м-на Вынгапуровский, г. Ноябрьск

Проект выполнила ученица

7в класса Копчук Роксолана


Аннотация

 

Цель данной работы - выяснить различные варианты составления магических квадратов, изучив которые можно заполнить квадрат любого размера, а так же рассмотреть возможные области их применения.


В ходе работы были использованы следующие методы:

  • поисковый метод (использование справочной и учебной литературы, а также информационных ресурсов глобальной сети Интернет);
  • практический метод (составление магических квадратов на основе полученных знаний);
  • исследовательский метод (составление психологического портрета личности по квадрату Пифагора).

В работе исследуется происхождение и формулируется определение магических квадратов, рассмотрены различные виды квадратов, способы их составления, а так же показана область применения этих загадочных фигур.


В ходе работы над проектом, я не только расширила свои знания по данной теме и повысила свои вычислительные навыки, но и научилась составлять магический квадрат Пифагора, с помощью которого можно познать характер человека, состояние его здоровья, потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки.


Во время летних каникул мне часто приходилось решать кроссворды. В одном журнале меня заинтересовала задача на логическое мышление - заполнение магического квадрата. Необходимо было заполнить квадрат числами от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел  по столбцам, по строкам и по диагоналям была одинакова.


Как это сделать, я не знала, поэтому решила обратиться за помощью к папе. Мы перебирали различные варианты, и, наконец, задача решена. И вот мой квадрат заполнен. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Я предположила, что существует специальный прием, который помогает быстро заполнить магический квадрат. Это и побудило меня заняться данным проектом.

 

История появления магических квадратов.

 

Магический квадрат - квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.


Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. И, вероятно, самым старым из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу. Она имеет размер 3*3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом магическом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15. Согласно одной из легенд прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной священной черепахи, всплывшей из вод реки Хуанхэ.

                      


Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, а затем и в другие страны. В начале XVI  века  знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия». Дата создания гравюры (1514 год) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.



В IX веке. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры. Получение магических квадратов считалось популярным развлечением среди математиков. Ими создавались огромные квадраты, например, 45*45, содержащий числа от 1 до 2025, Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.


В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие  значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачки, связанные с необычными квадратами.

 

Виды магических квадратов и способы их заполнения.

 

В ходе своей работы, я пришла к выводу, что магических квадратов 2*2 не существует. Квадрат размером 2*2 должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная была бы равна 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать не возможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+ 4 и 2+3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обоих столбцах, либо по диагоналям, но никак не одновременно.


Существует единственный магический квадрат 3*3, так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо перестановкой строк или столбцов либо путем поворота исходного квадрата на 900 или на 1800


Общий метод построения квадратов неизвестен. Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата. Квадраты могут быть:

- нечетными, то есть состоять из нечетного числа клеток,

- четно-четные, то есть порядок равен удвоенному четному;

- четно-нечетные, то есть порядок равен удвоенному нечетному.



 

Магические квадраты нечетного порядка.

1. Метод достроения. Рассмотрю на примере квадрата 5*5.

1) Построю квадрат с 25 клетками и временно дострою его до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры. Достроенные клеточки обозначу символом *

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

*

*

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

*

 

*

*

 

 

 

 

 

*

*

 

*

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

*

*

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

2) В полученной фигуре располагаю по порядку косыми рядами сверху-вниз-направо 25 целых чисел от 1 до 25.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

6

*

2

 

 

 

 

 

11

 

7

 

3

 

 

 

16

 

12

 

8

 

4

 

21

*

17

 

13

 

9

*

5

 

22

 

18

 

14

 

10

 

 

 

23

 

19

 

15

 

 

 

 

 

24

*

20

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

3). Каждое число, расположенное вне исходного (выделенного) квадрата, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в моем примере – на пять.

1 - вниз под 13

2 - вниз под 14   

6 - вниз под 18

21 - вправо за 13

22 - вправо за 14

16 - вправо за 8

5 - влево перед 13

4 - влево перед 12

10-влево перед 18

25 - вверх над 13

24 - вверх над 12

20 - вверх над 8

4) Таким образом, все ячейки квадрата заполнены. Сумма чисел в столбцах, строках и диагоналях равна 65.

 

 

 

11

24

7

20

3

4

12

25

8

16

17

5

13

21

9

10

18

1

14

22

23

6

19

2

15

Магические квадраты четно-четного порядка.

1. Порядок 2n . Этот метод удобно рассматривать на примере магического квадрата 8*8.

1) Исходный квадрат разделю на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечу диагональные элементы символом. Остальные элементы построчно заполню порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены.

*

2

3

*

*

6

7

*

9

*

*

12

13

*

*

16

17

*

*

20

21

*

*

24

*

26

27

*

*

30

31

*

*

34

35

*

*

38

39

*

41

*

*

44

45

*

*

48

49

*

*

52

53

*

*

56

*

58

59

*

*

62

63

*

2) Отмеченные * диагональные элементы квадрата заполняю пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа-налево и снизу-вверх, причем числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены.

Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260.


64

2

3

61

60

6

7

57

9

55

54

12

13

51

50

16

17

47

46

20

21

43

42

24

40

26

27

37

36

30

31

33

32

34

35

29

28

38

39

25

41

23

22

44

45

19

18

48

49

15

14

52

53

11

10

56

8

58

59

5

4

62

63

1

2. Метод Раус – Бола. Для примера возьму квадрат 8-го порядка.

1) Квадрат заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n2 в их естественном порядке. Разделить заполненный числами от 1 до 64  квадрат на четыре равных квадрата порядка 4.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

 2) В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка 4 отметить 2 (8=2*2*2) клетки (всего 8 клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" порядок.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

3) Для каждой из отмеченных клеток отметить симметричную ей относительно вертикальной оси клетку.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

4) Содержимое каждой из отмеченных клеток переставить с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки. После этих перестановок получится магический квадрат. Сумма его элементов равна 260.

 

1

63

3

61

60

6

58

8

56

10

54

12

13

51

15

49

17

47

19

45

44

22

42

24

40

26

38

28

29

35

31

33

32

34

30

36

37

27

39

25

41

23

43

21

20

46

18

48

16

50

14

52

53

11

55

9

57

7

59

5

4

62

2

64


Магические квадраты четно-нечетного порядка.

Диагональный метод.   Для примера возьму квадрат 10*10.

1) Разделить заполненный числами от 1 до 100 квадрат на четыре квадрата порядка 5 осями симметрии.

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

2) В левом верхнем квадрате закрашу разным цветом три группы клеток, при этом в каждой строке и в каждом столбце отмечу по две клет­ки из первой группы и по одной — из второй и третьей групп. Одинаковым цветом выделю клет­ки, расположенные вдоль диагонали квадрата и прямых, ей параллельных.

1

2

33

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

3) Клетки, симметричные клеткам первой груп­пы относительно вертикальной оси, закрашу та­ким же цветом.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

4) Число, стоящее в каждой из отмеченных в пункте 2 клеток, переставлю с числом из соответ­ствующей центрально-симметричной клетки.

 

100

99

3

4

5

6

7

8

92

91

11

89

88

14

15

16

17

83

82

20

21

22

78

77

25

26

74

73

29

30

31

32

33

67

66

65

64

38

39

40

60

42

43

44

56

55

47

48

49

51

50

52

53

54

46

45

57

58

59

41

61

62

63

37

36

35

34

68

69

70

71

72

28

27

75

76

24

23

79

80

81

19

18

84

85

86

87

13

12

90

10

9

93

94

95

96

97

98

2

1

5) Содержимое каждой клетки второй группы обменяю с содержимым симметричной ей относительно горизонтальной оси клетки.

 

100

99

93

4

5

6

7

8

92

91

11

89

88

84

15

16

17

83

82

20

21

22

78

77

75

26

74

73

29

30

61

32

33

67

66

65

64

38

39

40

60

52

43

44

56

55

47

48

49

51

50

42

53

54

46

45

57

58

59

41

31

62

63

37

36

35

34

68

69

70

71

72

27

28

25

76

24

23

79

80

81

19

18

14

85

86

87

13

12

90

10

9

3

94

95

96

97

98

2

1

6) Содержимое каждой клетки третьей группы обменяю с содержимым симметричной ей относительно вертикальной оси клетки. Получится четно-нечетный магический квадрат с суммой, равной 505.

 

100

99

93

7

5

6

4

8

92

91

11

89

88

84

16

15

17

83

82

20

30

22

78

77

75

26

74

73

29

21

61

39

33

67

66

65

64

38

32

40

60

52

48

44

56

55

47

43

49

51

50

42

53

54

46

45

57

58

59

41

31

62

63

37

36

35

34

68

69

70

71

72

27

28

25

76

24

23

79

80

81

19

18

14

85

86

87

13

12

90

10

9

3

94

95

96

97

98

2

1

 

Применение магических квадратов.

 

Когда я рассмотрела способы составления магических квадратов, меня заинтересовала область их применения. Она показалась мне довольно таки интересной. Сегодня очень актуальным становится вопрос о защите информации. Например, на уроке информатики мы изучали тему кодирование. С помощью магических квадратов так же можно закодировать информацию. Например, зашифровать текст. Расположив буквы согласно числам магического квадрата, получаем фразу «БУДУ В СЕМЬ» или «КЛЮЧИ ПОД КОВРИКОМ».

 

Так же очень популярна японская головоломка судоку, прародителем которой можно считать Магический квадрат. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Не меньшую популярность завоевали судоку и в сети Интернет.


Англичане используют площадку для игры в шаффлборд, размеченную в виде магического квадрата.


Ну, и, конечно же, в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате его рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат. Составлю магический квадрат для себя.

Я родилась 28 июля 1998 года.

1) Складываем числа дня месяца и года рождения, получаем первое рабочее число 44.

2) Далее складываем цифры первого рабочего числа и получаем второе рабочее число 8.

3) Из первого рабочего числа вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения, так получается третье рабочее число: 44-(2+2)=40

4) четвертое рабочее число получаем из суммы цифр третьего рабочего числа: 4+0=4


1

4444

7

2

-

888

-

-

99

Теперь выпишу два ряда цифр. Первый состоит из цифр даты рождения: 28.07.1998. Второй - рабочих чисел: 44.8.40.4. Запишу их в квадрат.

 

«1» – стремлюсь из любого положения извлечь максимальную выгоду, «- я человек чувствительный к изменениям в атмосфере, «4444»- у меня отличное здоровье, «7»- для того, чтобы достичь желаемого, я должна много трудиться, «888» – означает, что в жизни, я добьюсь выдающихся результатов, «99»- умна от рождения, знания даются легко.


Чтобы быть более уверенной я использую данный квадрат в качестве талисмана.

Безусловно, не следует слепо верить всему магическому. Возможно, некоторые черты характера и заложены в дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в своей судьбе.




Назад к списку

Комментарии
Ошибка в магическом квадрате 10*10. В третьей снизу строке "71 72 27 28 25 76 24 23 79 80" необходимо поменять числа "27" и "28" местами - "28" в третий столбец, и соответственно "27" - в 4-ый. А то сумма по диагонали (слева-вниз) равна 504, в 3-м столбце - 504, а в 4-м - 506.
Чалый Михаил

Добавить комментарий
Прежде чем добавлять комментарий, ознакомьтесь с правилами публикации
Имя:*
E-mail:
Должность:
Организация:
Комментарий:*
Введите код, который видите на картинке:*