Обмен опытом

См. также:

Уважаемые коллеги. Размещение авторского материала на страницах электронного справочника "Информио" является бесплатным. Для получения бесплатного свидетельства необходимо оформить заявку

Положение о размещении авторского материала

Размещение информации

«Некоторые аспекты изучения понятия функции в курсе математики»

14.05.2015 209 263
Шерстюк Оксана Дмитриевна
Шерстюк Оксана Дмитриевна, старший методист

Амурский колледж строительства и жилищно-коммунального хозяйства

Понятие функции – одно из фундаментальных математических понятий, непосредст­венно связанных с реальной действительностью. В нем ярко воплощены изменчивость и ди­намичность реального мира, взаимная обусловленность реальных объектов и явлений. Именно в понятии функции в определенной степени отображается бесконечное многообра­зие явлений реального мира.

В процессе эволюции математики понятие функции подвергалось определенным изме­нениям. В настоящее время существует несколько вариантов определения понятия функции. В частности, понятие функции может выступать как первичное (неопределяемое) математи­ческое понятие. При другом варианте первичным считается понятие отображения, под функ­цией же понимается отображение одного числового множества в другое. Понятие функции можно трактовать и как особое отношение, установленное между элементами множеств. На­конец, функция может быть определена как некоторое соответствие между элементами мно­жеств.

Данная работа посвящена роли понятия функции для повышения познавательного интереса обучающихся к изучению математики.

Актуальность. Действующая программа по математике, основой которой является теоретико-множественная концепция, позволяет широко трактовать все основные математические понятия, в том числе и понятие функции. Кроме того, теоретико-множест­венный подход дает возможность излагать его на достаточно высоком уровне строгости. Существенная доля математического материала в старшем звене школы относится к функ­циям. И от того, насколько прочно обучающийся овладеет в курсе математики функциональными уме­ниями и представлениями, в значительной степени зависит успешность дальнейшего обуче­ния. Кроме того, знания обучающихся о функциях необходимы и при изучении курса физики и информатики.

Цель. Выявить различные аспекты изучения понятия функции в курсе мате­матики: психолого-педагогический, исторический и методический.

В программы понятие функции включено относительно недавно. Сущест­венное влияние на этот шаг в совершенствовании математического образования оказали идеи известного немецкого педагога-математика Феликса Клейна (1849-1925), убежденного в ведущей роли этого понятия и в математике-науке и в обучении математике. По словам Клейна, понятие о функции должно играть основную, руководящую роль в курсе средней школы. Понятие это должно быть выяснено обучающимися очень рано и должно пронизать все преподавание математики.

С учетом сказанного определены задачи работы:

  1. Раскрыть сущность познавательного интереса как средства и мотива обучения.
  2. Изложить исторический подход к развитию понятия функции.
  3. Осветить методические особенности изучения понятия функции на уроках матема­тики и провести анализ учебников.
  4. Предложить некоторые формы внеклассных мероприятий для повышения интереса к изучению понятия функции.

Понятие функции уходит своими корнями в ту дале­кую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимо­связаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей уда­стся убить на охоте, тем дольше племя бу­дет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество из­вестных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чи­сел. Это позволило формулировать их словами «больше на», «меньше на», «больше во столько-то раз». Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец, а трех быков – на 18 овец; если из одного ведра глины изготовляли 4 горшка, то из двух ведер глины можно было сделать 8 горшков, а из трех ведер – 12 горшков. Такие расчеты привели к возникновению понятия о пропорциональности величин.

В те времена редко приходилось сталкиваться с более сложными зависи­мостями. Но когда возникли первые цивилизации, образовались большие армии, началось строительство египетских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, оп­ределяли ко­личество кирпичей, необходимое для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних походов. От одного по­коления писцов к дру­гому  переходили  правила решения задач, и чем лучше писец справлялся с ними, тем боль­шим почетом он пользовался.

Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облег­чить вычисле­ния, вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций 

Пользуясь такими таблицами, вавилоняне могли решать и обратные задачи – по задан­ному объему куба находить длину его стороны, т. е. извлекать куби­ческие корни. Они умели даже решать уравнения вида .Были у вавило­нян и таблицы функций двух перемен­ных, например таблицы сложения и умножения. Пользуясь различными таблицами, они могли вычислять длину гипотенузы по длинам катетов, т.е. находить значения функции .

Разумеется, путь от появления таблиц до создания общего понятия функ­циональной за­висимости был еще очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.

В Древней Греции наука приняла иной характер, чем в Египте и Вавилоне. Появились профессиональные ученые, которые изучали саму математическую науку, занимались стро­гим логическим выводом одних утверждений из других. Многое из того, что делали древне­греческие математики, тоже могло привести к возникно­вению понятия о функции. Они ре­шали задачи на построение и смотрели, при каких условиях данная задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т. д. Древние греки нашли много раз­личных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрез­ками хорд и диаметров в круге, эллипсе и других линиях.

Но все же древнегреческие математики не создали общего понятия функ­ции. Воз­можно, здесь сказалось то, что к практическим приложениям математики они относились свысока. Одна из дошедших до нас легенд гласит, что когда какой-то человек попросил Евк­лида обучить его геометрии и задал вопрос: «А какую практическую пользу я получу, вы­учив все эти теоремы?», тот сказал, обращаясь к своему рабу: «Дай ему обол (мелкую грече­скую мо­нету), бедняжка пришел искать пользу».

Вопросами практической математики в Греции больше занимались астро­номы. Они придумали, например, долготу и широту, с помощью которых опре­деляли положение звезд на небосводе. Астрономам приходилось решать сфери­ческие треугольники. Это послужило началом сферической тригонометрии, ко­торая, как ни странно, была создана раньше, чем плоская. Чтобы решать триго­нометрические задачи, пришлось составить таблицы зависимо­сти между дли­ной хорды и величиной стягиваемой ею дуги. По сути дела, это уже были таб­лицы функции (длина хорды, стягивающей дугу  , равна ).

Когда византийский император Юстиниан в 529 году н. э. запретил под страхом смерт­ной казни математические исследования, как «языческую мерзость», центр научных иссле­дований переместился на Восток. Арабские ученые ввели новые тригонометрические функ­ции и усовершенствовали таблицы хорд, составление Птолемеем. Работая с тригонометриче­скими таблицами, они прибегали к интер­поляции, т. е. к «чтению между строк таблицы». Чаще всего они применяли линей­ную интерполяцию, считая, что между двумя известными значениями функция меняется линейно. Но живший в XI веке среднеазиатский ученый Аль-Бируни разработал бо­лее точный способ интерполяции, основанный на замене данной функ­ции квад­ратичной. Он применил свой способ только к таблицам синусов и тангенсов, но в одном месте указал, что этот способ «применим ко всем таблицам». Здесь впервые встреча­ется мысль о «всех таблицах», т. е. о всевозможных зависимо­стях между величинами.

Исследование общих зависимо­стей началось в XIV веке. Средневековая наука была чисто словесной, она опи­ралась на рассуждения древних философов или на цитаты из ре­ли­гиозных книг. Поэтому и научные результаты выражались словесно как ут­верждения о связи между собой различных качеств предметов. Тогда же воз­никла научная школа, которая ут­верждала, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, сва­лившегося в реку, мокрее, чем, того, кто лишь попал под дождь).

Французский ученый Никола Оресм (ок. 1323-1382) стал изображать интенсивности дли­нами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им «линией интенсивно­стей». В этой линии можно узнать график, соответствующей функциональной зависимости. Оресм изучал даже «плоско­стные» и «телесные» качества, т. е. функции, зависящие от двух или трех переменных.

Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получив­шиеся гра­фики. Он выделил три типа качеств: равномерные (т.е. с постоянной интенсивностью), рав­номерно-неравномерные (для которых скорость измене­ния интенсивности постоянна) и не­равномерно-неравномерные (все остальные), а также указал характерные свойства графиков таких качеств.

Идеи Оресма намного обогнали тогдашний уровень науки. Чтобы разви­вать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной алгебры в то время не существовало. Лишь после того, как в течение XVI века была постепенно создана буквенная алгебра, удалось сделать следующий шаг в развитии понятия функции.

Вдумчивая кропотливая работа преподавателя математики над усвоением обучающимися понятия функции способствует более глубокому развитию у них интереса к предмету, формированию диалектико-математического мировоззрения.

Вопрос о функции в курсе математики – это один из тех вопросов, характер изучения которых в значительной степени определяет прикладную направленность этого курса. Прикладное значение понятия функции огромно. В нем «как в зародыше, уже зало­жена вся идея овладения явлениями природы и процессами техники с помощью математиче­ского аппарата», – писал известный отечественный математик и педагог А.Я.Хинчин. Вот почему такое значение придается изучению этого понятия в курсе математики.

Отметим основные выводы работы:

  1. Проблема активизации познавательного интереса обучающихся – актуальная про­блема современной педагогики. В работе раскрывается познаватель­ный интерес как средство и мотив обучения и повышения интереса обучающихся к учебному предмету, в частности к математике.
  2. Изложен исторический подход к развитию понятия функции. Основ­ной формой использования исторического материала являются короткие со­общения исторических сведений на отдельных уроках, а также проведение неко­торых форм внеклассных мероприятий, связанных с отражением пути развития понятия функции.
  3. В работе предпринята попытка осветить методические особенности изучения поня­тия функции на уроках математики на первом курсе обучения и провести анализ некото­рых учебников по математике.
  4. Внеклассная работа открывает большие возможности для повышения интереса обучающихся к изучению понятия функции. Формы внеклассной работы могут быть самыми  разнообразными: математические вечера, выпуск стенных газет, оформление папок-раскладок и т.д. 
    • игра «О, прекрасная функция!»;
    • математическое кафе «Функция. Преобразование графиков».

Список литературы

  1. Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа X-XI. – М., 1990. – 340 с.
  2. Боковнев, О.А. Преподавание алгебры и геометрии школе: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 220 с.
  3. Волошинов, А.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 1992. – 335 с.
  4. Галицкий, М.Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М., 1990. – 208 с.
  5. Графики функций: Учебное пособие для поступающих в вузы. – М.: Высшая школа, 1972. – 158 с.
  6. Груденов, Я.И. Психолого-педагогические основы методики обучения математике. – М.: Педагогика, 1987. – 160 с.



Назад к списку


Добавить комментарий
Прежде чем добавлять комментарий, ознакомьтесь с правилами публикации
Имя:*
E-mail:
Должность:
Организация:
Комментарий:*
Введите код, который видите на картинке:*