Методическая разработка урока по математики на тему «Построение графиков функций с помощью простейших преобразований»

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся; проверка готовности к уроку.

Учитель. Математика – древнейшая наука. Представители самых различных профессий: физики, инженеры, бухгалтеры, строители, автомеханики, электромеханики, швеи тесно связаны с её разделами, поэтому, чтобы успешно трудиться, нужно хорошо усвоить курс математики, любить и понимать её.

2. Постановка целей занятия.

Учитель. Древнегреческий поэт Нивей утверждал: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед» (слайд 1). Поэтому будем сегодня работать самостоятельно.

Перед данным уроком были изучены элементарные преобразования графиков функций, исследование функций и построение графиков.

А сегодня у нас заключительный урок по теме «Построение графиков функций с помощью простейших преобразований» и на нем мы повторим, обобщим и приведем в систему изученное. Также перед вами стоит задача – показать свои знания и умения, и даже показать свое творчество.

Сегодня вы совершите восхождение на вершину Знаний. Совершая восхождение на вершину Знаний с помощью Карты – ориентира (слайд 2; на экране и у каждого на парте), вы узнаете фамилию советского математика, одного из основоположников советской школы теории функций. (По ходу восхождения студенты после каждого участка пути будут получать жетоны с номерами 1, 2, 3, 4, 5 и закрывать на Карте – ориентире соответствующие цифры (как в лото)).

Ход урока

«Мышление начинается с удивления», - заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания узнать, от удивления к знаниям – один шаг» (слайд 3). А математика – замечательный предмет для удивления и творчества.

Обратите внимание у каждого у вас на парте лежит «Карточка учета знаний». Сюда вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока (за каждый участок восхождения на вершину Знаний).

В конце урока подведем итог вашей работы и выставим оценки.

Карточка учета знаний (с/о – самооценка, о/т – оценка товарища)

Ф.И…., группа

Принято перед любой нагрузкой проводить разминку. Проведем её и мы.

Разминка

3. Проверка домашнего задания.

3.1 Экспресс-опрос (учитель задает вопросы, студенты отвечают).

1. Какие элементарные функции вы знаете?
2. Опишите каждую из них.
3. Что является графиком каждой из названных функций?
4. Как построить графики этих функций?
5. Что можно прочитать по графикам этих функций?
6. Какие простейшие геометрические преобразования можно выполнять над графиками функций? Перечислите.

1-й участок пути

3.2 Теоретический диктант (с самопроверкой)

Учитель: Чтобы проверить теоретические знания каждого из вас по геометрическим преобразованиям, проведем математический диктант с самопроверкой. (Ограничьте поле своего зрения) На листочке не должно быть исправлений. Поэтому сначала думайте, потом пишите.

Учитель читает (по слайду 4, появляются на экране последовательно) запись функции, а студенты по внешнему её виду должны записать, какое выполнено над функцией геометрическое преобразование. (Назовите вид преобразования).

1. y = f (x) +b;
2. y = - f (x).
3. y = k f (x);
4. y = f (x - a);
5. y = f (k x), k > 0;

Ответы (слайд 5, появляются на экране последовательно)

1. Параллельный перенос вдоль оси ординат на вектор (о; в)
2. Симметричное отображение относительно оси абсцисс.
3. Растяжение вдоль оси ординат с коэффициентом k.
4. Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор (а; o)
5. Растяжение вдоль оси абсцисс с коэффициентом k.

Студенты проверяют диктант вместе с преподавателем (слайд 5), объясняя каждое задание; сколько «+» (за правильный ответ) – такая ставится оценка. Затем выставляют эту оценку в «Карточку учета знаний». Работы сдаются для того, чтобы учитель затем перепроверил.

После этого этапа учитель раздает по жетону № 1 (студенты закрывают им на Карте-ориентире цифру 1).

2-й участок подъема

4. Обобщение и закрепление знаний

4.1 Чтение графиков функций по готовым чертежам.

Чтобы пройти 2-й участок подъема вы должны выполнить следующее задание. Ваша задача по изображенным (на слайде 6) графикам функций назвать формулы, которыми заданы эти функции. Сделать поэтапное описание их построения. Один студент записывает на доске формулы, которыми заданы данные функции.

После этого этапа учитель раздает по жетону № 2 (студенты закрывают им на Карте-ориентире цифру 2).

4.2 Построение графиков функций с помощью элементарных преобразований.

Чтобы пройти 3-й участок подъема и получить жетон, необходимо выполнить самостоятельную работу (по карточкам), где вы должны построить графики функций, выполнив описание построения, используя геометрические преобразования. Цель этой самостоятельной работы проверить применение теоретических знаний на практике. (Работа проводится на 4 варианта и оценивается товарищем по парте, то есть взаимопроверкой. Работы сдаются преподавателю для перепроверки). Можно использовать в работе шаблоны графиков функций.

Студенты оценивают друг у друга работу, выставляют оценку в «Карточку учета знаний» и сдают тетрадь преподавателю.

После этого этапа учитель раздает по жетону № 3 (студенты закрывают им на Карте-ориентире цифру 3).

Привал

5. После длительного подъема на вершину Знаний – Привал.

На дом было дано задание творческого характера подготовить выступления (слайд 7):

а) Исторический момент (о листе Мёбиуса)

1 ряд – об Августе Мёбиусе.

2 ряд – о листе Мёбиуса.

3 ряд – о применении листа Мёбиуса.

Сообщение студентов.

1. Мёбиус Август Фердинанд.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят лента Мёбиуса) открыл в 1858 г. Немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790 - 1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией давало достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляло время для размышлений. А.Ф.Мёбиус – в течении более чем 15 лет наблюдатель, а потом директор Лейпцигской астрономической обсерватории, был разносторонним ученым. Он сделал много интересных открытий, стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет он сделал поразительное открытие – односторонние поверхности, одна из которых – лист Мёбиуса. Мёбиус является одним из основателей современной топологии.

Лист Мёбиуса – один из объектов топологии. Топология – «геометрия положения»

2. О листе Мёбиуса.

Август Мёбиус – немецкий математик и астроном, в одной из своих работ описал геометрическую поверхность, обладающую удивительным свойством – свойством односторонности. Эту поверхность и называют листом Мёбиуса, а иногда лентой Мёбиуса. Лента Мёбиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения новой науки – топологии.

С того момента, как немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Топология в основном изучает поверхности тел, и она находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку, макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно различны.

3. Применение листа Мёбиуса.

Широк спектр применения листа Мёбиуса:

1. в телефонах с автоответчиком, где нет микросхем.
2. в абразивных ремнях для заточки инструментов.
3. в лентах для печатающих устройств.
4. 80 лет назад ленту Мёбиуса пробовали экспериментальным путем применить её в форме пружины и позднее смогли реализовать эту идею в заводских детских игрушках.
5. ременная передача (в виде листа Мёбиуса) для мытья бутылок в производстве.
6. японские ученые пошли еще дальше и в 2003 году получили в лабораторных условиях односторонние кристаллы в форме ленты Мёбиуса.

Получить его просто: склеивается из бумажной полоски кольцо, только перед склеиванием повернем один конец на 180⁰.

Что же неожиданного увидел Мёбиус у этого кольца?

А то, что из этого кольца одна сторона. Свойство односторонности листа Мёбиуса используется в технике: если в ременной передаче ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться в двое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию.

Вы узнали связь математики с жизнью. Эти знания пригодятся и в вашей профессии, расширит ваш кругозор.

б) Практическая работа

У каждого на парте 4 полосы. Студенты делают все по команде преподавателя.

Как склеить лист Мёбиуса?

Учитель показывает, как склеить лист Мёбиуса. Перед склеиванием нужно повернуть один конец полоски на 180⁰. Мы получили знаменитое бумажное кольцо. У него даже есть свое название – лист Мёбиуса. Это односторонняя поверхность, её в первые рассмотрели независимо друг от друга в 1858 – 1865 гг. немецкий математик А.Ф.Мёбиус и И.Б.Листинг.

Возьмем ленты, разделим на несколько одинаковых полосок. Будем разрезать по этим линиям склеенный лист Мёбиуса.

Выполните следующие рекомендации:

а) На одной ленте начертить одну линию, склеить лист Мёбиуса и разрезать по этой линии.

б) На другой ленте начертить две линии, склеить лист Мёбиуса и разрезать по этим линиям.

в) На третей ленте начертить три линии, склеить лист Мёбиуса и разрезать по этим линиям.

г) На четвертой ленте начертить четыре линии, склеить лист Мёбиуса и разрезать по этим линиям.

Учитель. Что увидели? Какие можно сделать выводы?

Студенты делают выводы:

1. один разрез – одно большое кольцо;
2. два разреза – сцеплены одно большое и одно маленькое кольцо;
3. три разреза – сцеплены два больших кольца;
4. четыре разреза – на одном маленьком кольце сцеплены два больших кольца.

6. Закрепление

6.1 Чтобы пройти следующий подъем (участок пути) необходимо выполнить тестирование (слайд 9) по данной теме на компьютере.

Компьютерное тестирование.

Работа выполняется на два варианта.

Задание. Установите какой график соответствует данной функции.

(Работа выполняется быстро, так как такая работа проводится систематически). Компьютером высчитывается оценка, которую студенты заносят в Карточку учету знаний. Посмотрев на экран (слайд 9+10), студенты замечают, что совпали ответы под номером 5.

Учитель. Опишите устно свойства функций под номером 5, опираясь на алгоритм общей схемы исследования. Почему запись функции разная, а графики функций одинаковые? Как это получилось?

После этого этапа учитель раздает по жетону № 4 (студенты закрывают им на Карте-ориентире цифру 4).

6.2 Решение одной задачи

Фронтальная работа (задание выполняется у доски с подробными объяснениями преподавателя после совместного рассуждения).

7. Творческая работа

Самое трудное – это последний участок подъема к самой вершине Знаний. Для того, чтобы получить жетон № 5 надо каждому из вас выполнить задание творческого характера (на листочках).

Задание. Задать функцию как можно с большим числом преобразований. Выполнить описание построения графика функций и построить его.

После этого этапа учитель раздает по жетону № 5 (студенты закрывают им на Карте ориентира цифру 5).

8. Домашнее задание. (На экране слайд 12, студенты записывают).

9. Подведение итогов занятия.

Учитель. Мы поднялись на вершину Знаний. Путь был долгим и непростым.

Преподаватель дает оценку работы группы и подводит итог занятия.

• Чем мы сегодня занимались?
• Чему научились на этом занятии?
• Что нового узнали?
• Почему так много говорили и повторяли о преобразованиях графика функций.

Эти знания нам пригодятся на следующих уроках при изучении тригонометрических, показательных и логарифмических функций и при построении их графиков.

Ответы студентов подтверждают, что цели урок достиг.

В результате этого подъема каждый из вас получил минимум четыре оценки (студенты сдают свои «Карточки учета знаний», куда преподаватель еще выставит оценки за творческое задание).

А теперь переверните жетоны и вы узнаете фамилию советского математика, академика, одного из основоположников советской школы теории функций. Это Лузин Николай Николаевич (1883 - 1950) (слайд 13).

Лузин родился в Томске, учился в томской гимназии. Формализм гимназического курса математики оттолкнул от себя талантливого юношу, и лишь способный репетитор смог раскрыть перед ним красоту и величие математической науки.

Лузин изучал вопрос, можно ли представить любую периодическую функцию, даже имеющую бесконечно много точек разрыва, в виде суммы тригонометрического ряда.

В 1917 г. Лузин стал профессором Московского университета. Талантливый преподаватель, он привлекал к себе наиболее способных студентов и молодых математиков.

Современные советские и зарубежные математики в своих работах развивают идеи Н.Н.Лузина (так называемой аналитической геометрии) позволившие сформулировать разнородные по своему происхождению геометрические и физические задачи на общем (аналитическом) языке чисел и числовых зависимостей, или, как мы теперь говорим, числовых функций.

Стечение этих обстоятельств и привело к тому, что в конце XVII в. двум ученым – И.Ньютону и Г.Лейбницу – независимо друг от друга удалось создать для решения названных задач математический аппарат, подытоживший и обобщивший отдельные результаты предшественников, среди которых и ученый древности Архимед и современники Ньютона и Лейбница – Б.Кавальери, Б.Паскаль, Л.Грегори, И.Барроу. Этот аппарат и составил основу математического анализа – нового раздела математики, изучающего различные развивающиеся процессы, т.е. взаимосвязи переменных величин, которые в математике называют функциональными зависимостями или, иначе, функциями. Кстати, сам термин «функция» потребовался и естественно возник именно в XVII в., а к настоящему времени он приобрел не только общематематическое, но и общенаучное значение.

Библиография

1. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа, 10 – 11 кл./ учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение, 2002.
2. Богомолов Н.В. Математика: Учебн. для ССУЗов – М.: Дрофа, 2004.
3. Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике – М.: Дрофа, 2006.
4. Энциклопедический словарь юного математика, сост. Э – 68 А.П.Савин – М.: Педагогика, 1989.
5. Лэнгдон Н., Снейп Ч. C математикой в путь. Перевод с английского: Педагогика, 1987.
6. Карп А.П. Даю уроки математики…: Кн. для учителя: Из опыта работы – М.: Просвещение, 1992.